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利用笛沙格定理求解初等几何中的动态问题 (1)

2018-09-10 09:26:09  作者:胡翔  来源:互联网  文字大小:【】【】【
简介:摘要 笛沙格定理是射影平面上的重要定理.本文抓住笛沙格定理的精髓——两个对应三点形,可轻易解决初等几何中的 动态问题中.关键词 笛沙格定理 动态问题 三点形1 引言十七世纪,当笛卡儿和费马创立的解析 ...
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摘要  笛沙格定理是射影平面上的重要定理.本文抓住笛沙格定理的精髓——两个对应三点形,可轻易解决初等几何中的

动态问题中.
关键词  笛沙格定理  动态问题  三点形
1 引言
十七世纪,当笛卡儿和费马创立的解析几何问世的时候,还有一门几何学出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切

的关系,它的某些概念早在古希腊时期就已经引起一些学者的兴趣,它的快速发展得助于欧洲文艺复兴时期透视学的兴起

,这门几何学就是射影几何学。数学家笛沙格为这门学科建立而做出了重要贡献,使射影几何真正成为独立的学科、成为

几何学的一个重要分支.笛沙格定理作为射影几何四大定理之一,不仅是平面射影几何的基础之一,而且以它为根据可以

推出一系列射影几何命题.利用它还可以解决初等几何中的动态问题.
2 基本概念
定义1[1]  平面内不共线的三个点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形;平面内不共点的三条直线与其每两条直线

的交点所组成的图形叫做三线性.
定义2[2]  在射影平面里设有点,直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题,将此命题中的各元素改为它的对偶元

素,各作图改为它的对偶作图,其结果形成另一个命题,这两个命题叫对偶命题.
定理1(笛沙格定理)[3]  如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点必在同一条直线上.
定理2(笛沙格逆定理)[3]  如果两个三点形对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点.
笛沙格定理与其逆定理是对偶命题,由对偶原则知,笛沙格定理成立,则其逆定理也成立,这为笛沙格逆定理的证明起到了事

半功倍之效.显然它的真确性是毋庸置疑的,这是对偶原理的功劳!更有趣的是,笛沙格的对偶命题,不仅是笛沙格的逆

定理,而且是笛沙格的对偶命题,还是笛沙格的自对偶命题(对偶命题与原命题一致)。 这四者的有机统一,无不说明

数学的魅力所在。
3 利用笛沙格定理求解动态问题
初等几何中的动态问题是指在一条直线上有一点是动点,也可以是通过一定点任意作直线,然后根据题中的其它已知条件

,利用笛沙格定理可以解决此类问题.
例1  设 为共面四条相异的直线, 为 上的两个定点, 为 上的一个动点,又 分别交 , 于 求证  交 .
证明  在直线 上任取两个点 然后 分别交 于  , 分别交 于 作图1,即证 三条直线共点.从而,将此动态问题转化为三

线共点问题.选取三点形 和 ,其两个三点形的对应顶点显然交于一点 ,由笛沙格定理可知,三点形 和 的对应边的交点  

共线.即 三直线共点 .证毕.
这道题看似好像十分复杂,画完图后发现并不是所想象的那么难,其中两个动态点 并不影响点 ,而且三条直线 确定唯一的

一点 .
例2  设有两条直线 与 以及三个共线点 过 作直线分别与 交于 又 与 交于 ,试证明:点 的轨迹是过 与 交点的一条直

线.
证明  过点 任作两直线 连接 交于点 ,再连接 交于点 ,如图2.考察三点形 和 ,其对应顶点 交于一点 ,由笛沙格定理

知,其对应边交点 三点共线,即点 的轨迹是过 与 交点的一直线.显然点 轨迹是唯一的直线 .证毕. 
此外,这题也可以选取三点形 和 ,根据笛沙格逆定理即证.
由上述例题可以看出在初等几何中,解决此类问题较为繁琐复杂,但笛沙格定理的出现便化繁为简,使问题的解决变得简单

明了.
4 结束语
在利用笛沙格定理或逆定理证明三线共点或三点共线问题时,关键是准确地找到两个对应三点形,而且要调整好对应顶点的

顺序.以便达到证明的目的.共线问题和共点问题一般可以转化.在都适用时,一般共线问题用笛沙格定理,共点问题用

笛沙格逆定理.当然,我们也要具体问题具体分析.此外,笛沙格定理在初等几何中的应用非常简单易懂实用,可以化简初

等几何中繁琐的步骤,为几何的证明开辟了一条快捷之路.
参考文献
[1] 梅向明,刘增贤,王汇淳,等.高等几何[M].北京,高等教育出版社, 2000:1-43.
[2] 陈圣德.笛沙格定理的几种证法及其应用[J].中学数学,1981(1):14-17.
[3] 周兴和.高等几何[M].北京:科学出版社,200

[1] [2]

责任编辑:jiexun01

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